1. $\Bqty{\wt X_n = (X_n - a)^+}$ 关于 $\Bqty{Y_n}$ 也是下鞅.

1.1 期望

1.2 条件期望

1.3 $(X_n - a)^+$ 是 $X_n$ 的函数, 从而是 $Y_0, \cdots, Y_n$ 的函数. 从而得证.

2.

记 $\beta_k = \alpha_k \and n, k \ge 0$, 因为 $\alpha_k$ 是 $\Bqty{X_n}$ 的停时, 所以也是 $\Bqty{Y_n}$ 的停时, 从而 $\beta_k$ 也是 $\Bqty{Y_n}$ 的停时. 于是由引理 1, 得

从而

其中第三行由定义给出, 第六行见概统笔记 3.1.2 节第二点. 于是有

证毕.